Если работник принят на работу по трудовому договору, то есть был издан приказ о назначении на должность, запись в трудовую книжку надо делать обязательно. Также надо подавать отчет о приеме на работу в Центр занятости. Если работник просит не делать записи в его трудовую книжку (кстати, а он ее Вам принес?) - не исключено, что он где-то уже работает ( а там, к примеру, временно простой), или возможно состоит на учете в центре занятости (и там получает пособие).
Без оформления трудовой книжки можно оформить с работником гражданско-правовой договор. В этом случае приказ о приеме на работу не издается, работник в штат не зачисляется. Оплата производится по акту выполненных работ.