Вот Вы-то как раз поступили абсолютно правильно !!!
А на основании Вашей справки новый работодатель и сделает запись в ТК.
P.S. В принципе ничего противозаконного в том, чтобы и Вам сделать запись (пока есть свободное место), нет.
А дальше уже продолжит кадровик нового работодателя.