Да-да-да, увольняете последним днем трудового договора, по п.2ст.36, а больничный оплачивается полностью.

ФОНД СОЦІАЛЬНОГО СТРАХУВАННЯ З ТИМЧАСОВОЇ ВТРАТИ ПРАЦЕЗДАТНОСТІ
ЛИСТ від 06.08.2004 р. N 05-31-1137 Щодо деяких питань соціального страхування з тимчасової втрати працездатності

У разі, якщо під час тимчасової непрацездатності у працівника закінчується дія строкового трудового договору, на підставі п. 2 ст. 36 КЗпП видається наказ про його звільнення, але допомога по тимчасовій непрацездатності надається йому до відновлення працездатності або до встановлення МСЕК інвалідності за рахунок коштів Фонду соціального страхування з тимчасової втрати працездатності.