1. Запись о приёме на работу (по любому трудовому договору или контракту) вносится в ТК !
2. А вот срочный характер трудового договора в ТК не отражается
(кроме особого случая сезонных работ, но сейчас - не об этом).
Поэтому и делать-то ничего не надо

:
Стаття 36. Підстави припинення трудового договору
Підставами припинення трудового договору є:
2) закінчення строку (пункти 2 і 3 статті 23), крім випадків, коли трудові відносини фактично тривають і жодна з сторін не поставила вимогу про їх припинення;
Т.е. срочный трудовой договор автоматически превращается в бессрочный !
Ой, извините, у Вас ещё и совместительство было...
Тогда только через увольнение (совместителя) и принятие на работу !!!
А запись о работе по совместительству (у Вас) в трудовую книжку вносит предприятие, где работник работает (по основному месту) на основании справки, которую выдаёте ему Вы !