Працівник при прийомі надав трудову книжку Російської федерації з вже внесеними кількома записами. Остання робота вже в Україні також прописана в цій книжці. Чи правильно буде вносити записи в таку книжку чи оформити нову ?

Якщо це трудова книжка часів СРСР зразка 1938 чи 1974 р. - можна вносити записи в таку книжку.Якщо ж це трудова книжка саме РФ зразка 2003 р. - то правильно буде оформити нову.

Да, такое у нас часто встречается. У меня были и российские книжки, и молдавские, и белорусские и т.д. и т.п. С записями в украинских компаниях, в том числе. Лет 10 назад на такое закрывали глаза. Сейчас - уже нет, надо оформлять новую трудовую книжку, а иностранную принять, если там есть украинский стаж для больничного

Працівник звільнився в мене з роботи і через деякий час повернувся назад. В перерві ніде не працював, тобто останній мій запис про звільнення.
Скажіть будь ласка, чи потрібно в такому випадку повторно вказувати назву підприємства перед записом про прийняттям на роботу?

Так, потрібно.
Тому що при звільненні назва підприємства не вказується, вказується лише посада і прізвище особи, яка завіряє запис про звільнення, і не зрозуміло, де саме працював працівник (інформацію з печатки, як правило, неможливо прочитати :) ).