В заявлении он может написать только "прошу уволить меня по собственному желанию...", а по состоянию здоровья он может быть уволен только по инициативе работодателя по п.2 ст.40КЗоТ:
Основанием для увольнения в данном случае является медицинское заключение о том, что работник при медосмотре признан непригодным для выполнения работ по занимаемой должности или справка МСЭК.

Как и сказал Andry, увольнение в любом случае будет по ст. 38 - инициатива работника, единственное, что он может попробовать - это написать "Прошу уволить по собственному желанию по уважительной причине, а именно резкое ухудшение зрения, подтвержденное заключением врача, и запрет на зрительные нагрузки (если конечно такое написано в заключении врача!)". Это даст ему возможность не отрабатывать 2 недели и еще более не посадить зрение. Соответственно к заявлению нужно приложить выписку из медкарты с диагнозом и рекомендациями.

Игра не стоит свеч - бегать по врачам, собирать справки, а в трудовой все равно будет только запись "Уволен по собственному желанию". Лучше две недели поработать, заработать какую-то копейку и уволиться, чем две недели бегать по врачам, собирая справки...

Спасибо всем за ответы. По поводу увольнения всё понятно.

Но из этого следует, что и на бирже труда ему не светит пособия? Или там можно отдельно этот вопрос решить?

Почему нет? есть. Только если увольняться по собственному желанию, то пособие начнут платить через три месяца (90 дней), поэтому лучше уволиться по согласию сторон - в таком случае пособие начнут платить через неделю.
Читайте

Это цитата из старого закона, в новом немного не так:
См. Закон "Про загальнообов'язкове державне соціальне страхування на випадок безробіття":


Стаття 6. Право на матеріальне забезпечення на випадок безробіття та соціальні послуги

1. Право на матеріальне забезпечення на випадок безробіття (далі - забезпечення) та соціальні послуги мають застраховані особи.

2. Право на забезпечення та соціальні послуги відповідно до цього Закону має також молодь, яка закінчила або припинила навчання у загальноосвітніх, професійно-технічних і вищих навчальних закладах, звільнилася із строкової військової або альтернативної (невійськової) служби і яка потребує сприяння у працевлаштуванні на перше робоче місце у разі реєстрації в установленому порядку відповідних осіб як безробітних.

...

Стаття 22. Умови та тривалість виплати допомоги по безробіттю

2. Застраховані особи, визнані в установленому порядку безробітними, які протягом 12 місяців, що передували реєстрації особи як безробітної, за даними Державного реєстру загальнообов'язкового державного соціального страхування мають страховий стаж менше шести місяців або звільнені з останнього місця роботи з підстав, передбачених статтею 37, пунктами 3, 4, 7 і 8 статті 40, статтями 41 і 45 Кодексу законів про працю України, особи, зазначені у частині другій статті 6 цього Закону, мають право на допомогу по безробіттю у мінімальному розмірі.


Не уверена, что его признают имеющим право на пособие, по этому поводу лучше в ЦЗ обратиться.


А по первому вопросу - см. Порядок 1266:
10. Якщо у розрахунковому періоді перед настанням страхового випадку застрахована особа не мала заробітку (грошового забезпечення) з поважних причин, що зазначені у пункті 4 цього Порядку, або якщо страховий випадок настав у перший день роботи, середня заробітна плата (грошове забезпечення) для розрахунку страхових виплат та оплати перших п'яти днів тимчасової непрацездатності за рахунок коштів роботодавця визначається виходячи з місячної тарифної ставки (посадового окладу), встановленої працівникові на момент настання страхового випадку.

Не признают - и правильно сделают!
В 30 лет не иметь трудовой книжки и рассчитывать жить на пособие - это как-то неправильно, мягко говоря.

Этические вопросы я специально не затрагивала. :)

А кто такая "молодежь", сейчас у меня нет времени докапываться, может в ЦЗ по этому поводу есть какие-то разъяснения со ссылками на НПА. :D

rostian, вы если узнаете - напишите, пожалуйста. :redface:

нашла:

Сокращение и выплаты ЦЗ
 

Добрый день, коллеги!
подскажите! правда ли, что если уволиться по сокращению , а не по соглашению сторон, то размер пособия по безработице будет больше,
т.е. есть еще доплата из-за статьи,
а если это шутка,
то есть разница от статьи по которой увольняешься в размере пособия по безработице?

Да, есть разница, но тольбко не в размере пособия (его размер зависит только от размера заработной платы и от страхового стажа), а в продолжиттельности его выплаты.
Согласно п.3 раздела IV "Порядку надання допомоги по безробіттю..."