А почему Вы решили, что я спорю?
И я о том же

Здравствуйте! Почитала эту тему и не всё понимаю. Например, сотрудница работает с января 2010, и за тот период брала 10 дней. Получается, что с января 2010 по январь 2011 использовано только 10. Значит с января 2011 по январь 2012 она должна использовать уже 34 дня? И остальные неотгулянные 14 дней я должна указывать за тот период?

14 дней - 2010-2011
24 дня - 2011-2012

А если сотрудник работает с июля 2010 года и собирается идти в отпуск только в сентябре этого года? Тогда получается, что он берет уже период за 2011-2012? И тогда следущий отпуск ему уже не положен раньше июля 2012?

Периоды считаются с даты приема, а не даты первого отпуска.
В сентябре этого года (я так понимаю это первый отпуск) он берет отпуск за период работы 2010-2011 гг. (Ст. 6 ЗУ "Об отпусках")

Ст. 10
"Щорічні відпустки за другий та наступні роки роботи можуть бути надані працівникові в будь-який час відповідного робочого року.
Черговість надання відпусток визначається графіками, які затверджуються власником або уповноваженим ним органом за погодженням з виборним органом первинної профспілкової організації (профспілковим представником) чи іншим уповноваженим на представництво трудовим колективом органом, і доводиться до відома всіх працівників. При складанні графіків ураховуються інтереси виробництва, особисті інтереси працівників та можливості для їх відпочинку. "

- т.е. за 2011/2012 работник сможет взять отпуск в любое время* до окончания рабочего года, в Вашем случае до июля 2012 г.
*согласно графика отпусков, который составляется на всех предприятия. По крайней мере, должен составляться.

Простите, но получается, что если пришел 15.07.2010 и до 15.07.2011 он его не использовал, то с 15.07.2011 по 15.07.2012 - 24 дня. И следущий отпуск уже с 15.07.2012?
Или же он может отгулять и в сентябре, а потом следущие 24 дня должен использовать до июля 2012?

да

Если сотрудник идет в отпуск в сентябре 2011, то вы засчитываете это отпуск за период его работы июль 2010 - июль 2011 (если есть неиспользованные дни), а в июле 2011 начинается новый рабочий год, который длится до июля 2012, когда работник так же может взять отпуск.

А до какого периода могут накапливаться отпуска?

Почитайте Закон Украина " Об отпусках", куча вопросов отпадет