Написано назначен на должность генерального директора, а по приказу должно быть: "на должность генерального директора с функциями главного врача".

Эта фраза "с функциями главного врача" на что-то влияет?
Я бы оставил все, как есть: запись эту делали ему, как совместителю, на основном месте работы, и они, а не вы, должны исправлять ошибку.

Это принципиально для самого директора и делали эту запись почему-то, как я поняла, мы. Можем ли мы ее исправить? Кстати, под этой записью стоит наша печать.

Вот это и есть нарушение... Как к вам могла попасть ТК совместителя?
(хотя я догадываюсь, что оба предприятия - ваши. :))

Нет, не наши, но подозреваю, что второе предприятие - это знакомые какие-то. Как можно исправить ситуацию?

Исправлять ошибку через 10 лет - проблема трудная... Где были его глаза раньше?!
Наверное, теперь лучше всего оформить дубликат трудовой, в котором все записи сделать правильно.

Дубликат - проблематично. К тому же, можно написать, что исправление было сделано в 2008 году, когда директор был принят к нам на основную работу. Я нашла образец как можно исправить, правда на российском сайте. Но я думаю, там нет принципиальных различий в порядке ведения трудовых. Предлагается следующим порядковым номером после последней записи написать, что запись под номером____ сделана ошибочно и сразу же ниже написать правильно. Что Вы об этом думаете?

По какой причине? Директор не хочет?
То же, что и ранее - мое мнение не изменилось, но это - всего лишь МОЕ личное мнение...Подождем, может быть, у кого-то из коллег другое мнение и кто-то предложит свой вариант решения проблемы?

Всего не расскажешь. Территориально он находится далеко от меня и от города, в котором велась его трудовая книжка.

Так, не зная всех нюансов, и посоветовать что-либо толковое трудно :dont know:
Просто я, не видя всей картины, боюсь, что пытаясь исправить ошибку, вы только еще больше усугубите...
Оставьте все, как есть - это наименьшее зло. Ошибочная или не ошибочная запись о работе по совместительству - это никакой роли не играет в данном случае, так как запись о работе по совместительству не является обязательной.
Запись о работе по совместительству производится на основании справки с места работы совместителя - а вы теперь знаете, что было написано в той справке 10 лет назад?!