Да вы чего, ребята - пятница, что-ли, подействовала ?
Как же без заявления человека уволить ???
А он потом в суд подаст и скажет -
докажите, что я просил меня уволить.
"Чем докажете?", как говорил В. Ильченко.
Поэтому, заявление пишется в любом случае