Нет, заявление не нужно, это увольнение по инициативе работодателя. ("Прошу уволить меня, злостного пьяницу и прогульщика, чтоб неповадно мне было"
)
Порядок действий описан, прежде всего, в КЗоТе и комментариях к нему: ст. 40 п. 4 - основание для увольнения за прогул; ст. 40 п. 7 - за появление на работе в нетрезвом состоянии. И поскольку данное увольнение является дисциплинарным взысканием, - ст. 147 - 149.
На форуме порядок таких увольнений тоже обсуждался неоднократно. Полистайте, найдете много рекомендаций. Или конкретизируйте немного ситуацию, проще разбирать на живых примерах.
Я лично стараюсь избегать увольнений по этой статье (это всегда повод для трудового спора), особенно п. 7. Т.к. единственным доказательством появления на работе в нетрезвом состоянии является заключение медэкспертизы, а заставить работника пройти освидетельствование мы не можем.