Нет трудовой - нет работника...
Уничтожить приказ о приёме на работу и "до свиданья"
!!!
Это грубый вариант...
А законный:
- получить хоть парочку подтверждений о получении Ваших писем
(с личной его подписью !!!)...
- составить документ об отсутствии реакции на Ваши письма...
- уволить любой датой после последнего подтверждения получения Ваших писем
(коммунальный налог всё равно ведь платили и плАтите...)