Послати можна, а от варто це робити, чи ні - це залежить від того, що це за записи. Краще, звичайно, нікого нікуди не посилати і трудову книжку на руки не видавати, тому що немає жодної гарантії, що вона до вас повернеться
Але якщо без цього ніяк не можна обійтися, наприклад - не зробили запис про звільнення – то в графі 3 пишете "запис за номером таким то недійсний", завіряєте підписом і печаткою, робите на всяк випадок для себе копію (бо хто його зна, поверне він її, чи ні, може прийдеться дублікат оформлюваати), і віддаєте трудову працівнику на руки (за його заявою на кшалт «Директору підприємства…. Прошу видати мені на руки мою трудову книжку для внесення змін на попередьому місці роботи. Трудову книжку зобов'язуюсь повернути до 30.09.2020 року…») і посилаєте на попереднє місце роботи для того, щоб вони внесли необхідні записи.
А вже після того, як він її вам поверне, знову внесете свій запис про прийом.