Отже - можете!

а что делать потом с его больничным?
если он его сегодня не принесет закрытый?

Звільнити працівника потрібно у день, вказаний у заяві, навіть якщо в цей день він на лікарняному. Обовязково письмово повідомити про необхідність одержання трудової книжки.
Лікарняний підлягає оплаті повністю, за весь період непрацездатності.


Знайдіть лист Мінпраці від 20.08.2008 №548

А як Ви дивитесь на те, що за ст.38 Якщо працівник після закінчення строку попередження про звільнення не залишив роботи і не вимагає розірвання ТД, власник не вправі звільнити його за поданою раніше заявою...

В даному випадку строк не закінчився. Як я розумію, сьогодні і є день звільнення.

Да, именно сегодня день увольнения

Тоді Ви вправі сьогодні його звільнити, а лікарняний коли він принесе, то до сьогоднішнього дня лікарняний оплачуєте, і все, робітник не потрудився Вас повідомити чи Він буде робити далі, а так як Він сам написав заяву то Ви виконали все по закону.

Так звільняйте сьогодні, у Вас є таке право.

Краще передзвонити - перепитати у нього, щоб не сказав, що був такий тяжко хворий, що не міг повідомити, що передумав звільнятись.

Ні, лікарняний потрібно оплатити повністю. Якщо страховий випадок настав в період роботи, навіть і у день звільнення, то лікарняний підлягає оплаті за всі дні непрацездатності. Це можуть бути і декілька листків непрацездатності, виданих за одним страховим випадком, якщо у першому написано "продовжує хворіти", а наступний виданий з поміткою "продовження ЛН №...".
Стаття 2 ЗУ "Про розмір внесків на деякі види загальнообов'язкового державного соціального страхування".