Центр занятости требует штатное расписание
 

Ситуация в следующем, с начала года, предприятие не давало заявку в центр занятости (обходились своими силами) о свободных вакансиях, теперь просят привезти штатное и книгу регистрации приказов, имеют ли они право требовать эти документы?

Пусть приезжают с обоснованной проверкой (с официальным предписанием) и смотрят сами.
Вот в этом случае вы обязаны предоставить нужные им документы.
Тут нужно поискать порядок проверки, где чётко прописано, что они могут требовать, а что нет.
Поищите здесь:
http://www.dcz.gov.ua/control/uk/doccatalog/list

Центр занятости требует штатное расписание
 

Подскажите, пожалуйста, по поводу книги регистрации приказов. Я регистрирую все приказы в эл. форме. Обязательно ли её вести письменно?

Распечатайте Книгу приказов из электронной формы будет вам письменная :) Лично мы регистрируем приказы как в электронном виде, так и письменно, но это больше как подстраховка, компьютер все-таки "железяка", мало ли... При проверках у нас книгу регистрации приказов не требовали ни разу, сами приказы смотрели.

При проверке у нас потребовали ксерокопии кадровых документов (Т-2 например) и списки уволенных? Где можно посмотреть имеют ли проверяющие право требовать ксерокопии документов? И должна ли я давать им эти ксерокопии?